Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

6

3

，短軸長為2

3

（1）求橢圓C的方程；
（2）設G，H為橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH．是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題目給出的橢圓的短軸長及離心率的值，結合a²=b²+c²，可求橢圓的長半軸長，從而橢圓的方程可求；
（2）假設存在滿足條件的定圓，設圓的半徑為R，根據三角形的面積相等得到OG•OH=R•GH，即

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，分OG與OH的斜率都存在和OG與OH的斜率有一個不存在兩種情況分析

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

成立，有一個斜率不存在時由特殊點易證，斜率都存在時設直線OG方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出OG²和OH²，整理后即可得到證明．

解答：解：（1）因為

c

a

=

6

3

，2b=2

3

，a²=b²+c²，
解得a=3，b=

3

，所以橢圓方程為

x2

9

+

y2

3

=1． 
（2）假設存在滿足條件的定圓，設圓的半徑為R，則OG•OH=R•GH
因為OG²+OH²=GH²，故

1

OG2

+

1

OH2

=

1

R2

，
當OG與OH的斜率均存在時，不妨設直線OG方程為：y=kx，
由

y=kx x2 9 + y2 3 =1

，得

xG2= 9 1+3k2 yG2= 9k2 1+3k2

，所以OG2=

9+9k2

1+3k2

，
同理可得OH2=

9k2+9

3+k2

 （將OG²中的K換成-

1

K

可得）

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

，R=

3

2

，
當OG與OH的斜率有一個不存在時，可得

1

OG2

+

1

OH2

=

4

9

=

1

R2

，
故滿足條件的定圓方程為：x2+y2=

9

4

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數學轉化思想方法和分類討論的思想方法，是有一定難度題目．