Question

如右圖，在四棱錐P—ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD.且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).

(1)求證：PB⊥DM；

（2）求CD與平面ADMN所成的角.

Answer 1

解法一：（1）證明：∵N是PB的中點(diǎn)，PA=AB，?

∴AN⊥PB.?

∵AD⊥平面PAB，∴AD⊥PB.?

從而PB⊥平面ADMN.?

∵DM 面ADMN,

∴PB⊥DM.?

 (2)如圖,取AD的中點(diǎn)C,連結(jié)BG,NG,

則BG∥CD,?

∴BG與平面ADMN所成的角和CD與平面ADMN所成的角相等.?

∵PB⊥平面ADMN,?

∴∠BGN是BG與平面ADMN所成的角.?

在Rt△BGH中,

sin∠BGN==.?

故CD與平面ADMN所成的角是arcsin.

解法二:如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,設(shè)BC=1，則A（0，0，0）?，P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，,1），D（0，2，0）.? 

(1）∵·=（2，0，-2）·（1，-，1）=0，?

∴PB⊥DM.?

(2)∵·=（2，0，-2）·（0，2，0）=0，?

∴PB⊥AD，又因?yàn)镻B⊥DM，?

∴PB⊥平面ADMN.

∵〈，〉的余角即是CD與平面ADMN所成的角.?

∵cos〈，〉==.?

∴CD與平面ADMN所成的角為arcsin.?

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線線、線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力.