Question

已知⊙O₁：（x-3）²+（y+1）²=5，⊙O₂：（x+3）²+（y-1）²=25，
（1）求⊙O₁與⊙O₂的交點；
（2）若經(jīng)過點P（0，-1）的直線l與這兩個圓的公共弦總有公共點，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

(x-3)2+(y+1)2=5 (x+3)2+(y-1)2=25

，求得方程組的解為

x=1 y=-2

，或

x=2 y=1

，即可得到⊙O₁與⊙O₂的交點為A、B的坐標(biāo)．
（2）由于直線PA的斜率為 K_PA=

-2+1

1-0

=-1，直線PB的斜率 K_PB=

1+1

2-0

=1，故PA的傾斜角為

3π

4

，PB的傾斜角為

π

4

．?dāng)?shù)形結(jié)合，可得直線l斜率的取值范圍．

解答：解：（1）由

(x-3)2+(y+1)2=5 (x+3)2+(y-1)2=25

，可得 y=3x-5，
再代入第一個圓的方程可得x²-3x+2=0．
求得x=1，或x=2，可得方程組的解為

x=1 y=-2

，或

x=2 y=1

，
即⊙O₁與⊙O₂的交點為A（1，-2）、B（2，1）．
（2）由于點P（0，-1），可得直線PA的斜率為 K_PA=

-2+1

1-0

=-1，
直線PB的斜率 K_PB=

1+1

2-0

=1，
故PA的傾斜角為

3π

4

，PB的傾斜角為

π

4

．
再根據(jù)過點P（0，-1）的直線l與這兩個圓的公共弦AB總有公共點，
故直線l的傾斜角的范圍為[0，

π

4

]∪[

3π

4

 π），
可得直線l斜率的取值范圍為[-1，1]．

點評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩個圓的位置關(guān)系的判定，直線和圓相交的性質(zhì)，屬于中檔題．