Question

【題目】動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸，垂足為，設(shè).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，求的最小值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）設(shè)點(diǎn)，利用將表示為的形式，然后代入拋物線方程，化簡(jiǎn)后可求得軌跡的方程.（II）設(shè)點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程.對(duì)比后可求得直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求得的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后利用基本不等式求得的最小值.

（1）設(shè)點(diǎn)，

則由，得

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)的軌跡的方程為：

（2）設(shè)點(diǎn)，

由，得；所以

故的方程為

又點(diǎn)在直線上，所以

又，故，將其代入式

得即

同理得：

因?yàn)辄c(diǎn)均滿(mǎn)足方程

所以的方程為即

于是，

令，則，

則

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以的最小值為