Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)判斷函數(shù)能否有3個(gè)零點(diǎn)？若能，求出的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不可能有個(gè)零點(diǎn)；說明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的分布情況在不同的取值范圍情況下討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）采用反證法，假設(shè)有個(gè)零點(diǎn)，可知需滿足或；當(dāng)時(shí)，可得極大值，從而知不可能有個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可得極大值，將其看做關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)可判斷出，從而可知不可能有個(gè)零點(diǎn)；可知假設(shè)錯(cuò)誤，即不可能有個(gè)零點(diǎn).

（1）由題意知：函數(shù)定義域?yàn)?/span>

①若，則

當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)

②若

當(dāng)或時(shí)，，則為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)

③若，則，故在上增函數(shù)

④若

當(dāng)或時(shí)，，則為增函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)

（2）若函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，由（1）可知，必有或

①若，由（1）可知在處取得極大值，在處取得極小值

此時(shí)不可能有個(gè)零點(diǎn)

②若，由（1）可知在處取得極大值，在處取得極小值

則，

，即 在上單調(diào)遞增

在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，

此時(shí)不可能有個(gè)零點(diǎn)

綜上所述：函數(shù)不可能有個(gè)零點(diǎn)