Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=4cos(2x+

π

3

)，x∈R有下列命題：
①由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂必是π的整數(shù)倍；
②y=f（x）與y=4sin(2x-

π

6

)是同一函數(shù)；
③y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)(-

π

6

，0)對稱；
④y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱；
⑤f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)．
其中正確命題的序號(hào)是

④⑤

．（注：多選少選均不給分）

Answer 1

分析：求出函數(shù)的周期判斷①不正確，利用誘導(dǎo)公式化簡f（x）可得②不正確，求出函數(shù)的對稱中心判定③不正確，根據(jù)對稱軸的定義可得f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱，故④正確，
利用誘導(dǎo)公式分別化簡f(x+

π

6

)和f(x-

5π

6

)，可得f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)，⑤正確．

解答：解：對于函數(shù) f(x)=4cos(2x+

π

3

)，x∈R，它的周期等于

2π

2

=π，
①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得x₁-x₂必是半個(gè)周期

π

2

的整數(shù)，故①不正確．
②f（x）=4cos（2x+

π

3

）=4sin（

π

2

-2x-

π

3

）=-4sin（2x+

π

3

-

π

2

）=4sin（2x-

π

6

），故②不正確．
③由2x+

π

3

=kπ+當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）=4≠0，故f（x）的圖象不關(guān)于點(diǎn)(-

π

6

，0)對稱，故③不正確．
④當(dāng)x=-

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）=4，是函數(shù)的最大值，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=-

π

6

對稱，故④正確．
⑤∵f(x+

π

6

)=4cos[2(x+

π

6

)+

π

3

]=4cos（2x+

2π

3

），f(x-

5π

6

)=4cos[2（x-

5π

6

）+

π

3

]=
4cos（2x-

4π

3

）=4cos（2x+

2π

3

），故f(x+

π

6

)=f(x-

5π

6

)，故⑤正確．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評：本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查基本概念，基本知識(shí)的理解掌握程度，是基礎(chǔ)題．