Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中， 平面是的中點(diǎn)， 是上的點(diǎn)且為邊上的高.

（1）證明： 平面；

（2）若，求三棱錐的體積；

（3）在線段上是否存在這樣一點(diǎn)，使得平面?若存在，說出點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）中點(diǎn).

【解析】試題分析：（1）平面， 為中邊上的高， ，由線面垂直的判定定理能夠證明平面；（2）連接，取中點(diǎn)，連接是中點(diǎn)， ， 平面， 平面，由根據(jù)棱錐的體積公式能夠求出三棱錐的體積；（3）取的中點(diǎn)，連接，則因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，先證明，再證明以平面，可得面，即 與 重合時(shí)符合題意.

試題解析：（1），又平面，平面，

又，平面

（2）是的中點(diǎn)，到平面的距離等于點(diǎn)到平面距離的一半，即=，又因?yàn)?/span>，所以三棱錐；

（3）取的中點(diǎn)，連接、，則因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，且，又因?yàn)?/span>且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，由（1）知平面，所以,又因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>ED//DQ，所以面．M為PB中點(diǎn).

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面垂直的判定定理及棱錐的體積公式，屬于難題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.