Question

如圖所示，正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，且它們的邊長都是1，點M在AC上，點N在BF上，若CM=2BN=a(0＜a＜

2

)．
（1）求MN的長；
（2）當a為何值時，MN最小，并求出最小值？
（3）當MN最小時，求三棱錐M-ANB的體積．

Answer 1

分析：（1）由垂直關系可以建立空間直角坐標系，用a表示點M，N的坐標，再由兩點間的距離公式可求MN的長；
（2）由（1）中MN的函數表達式，容易求出MN最小時a的值；
（3）由作圖知，MP是三棱錐M-ABN底面ABN上的高，由棱錐的體積公式可求出體積．

解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標系；               
∵正方形的邊長為1，
則A（1，0，0），B（0，0，0），C（0，0，1），E（0，1，0），F（1，1，0），
由CM=2BN=a(0＜a＜

2

)，在平面ABCD內作MQ⊥BC，MP⊥AB，垂足分別為Q，P，
則CQ=MQ=

a

2

，MP=1-

a

2

，
∴M（

a

2

，0，1-

a

2

），N（

a

2 2

，

a

2 2

，0）；
∴MN=

( a 2 - a 2 2 ) 2+(0- a 2 2 )2+(1- a 2 2 )2

=

1

2

3(a- 2 2 3 )2+ 4 3

；

（2）由（1）知，當a=

2 2

3

時，MN有最小值，此時MN=

1

2

•

4 3

=

3

3

；

（3）在平面ABCD內，MP⊥AB，且平面ABCD⊥平面ABEF，
∴MP⊥平面ABEF；
所以，三棱錐M-ABN的體積為：V=

1

3

•S_△ABN•h
=

1

3

•

1

2

•AB•BN•sin45°•MP
=

1

3

•

1

2

•1•

a

2

•

2

2

•(1-

a

2

)
=

2 a

24

(1-

a

2

)
=

2

24

•

2 2

3

(1-

1

2

•

2 2

3

)
=

1

54

．

點評：本題綜合考查了空間直角坐標系的應用，求兩點間的距離，函數的最大值，三棱錐的體積等，根據垂直關系建立空間直角坐標系是解本題的關鍵．