Question

【題目】下面給出四個命題的表述： ①直線（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）恒過定點（﹣3，3）；
②線段AB的端點B的坐標(biāo)是（3，4），A在圓x2+y2=4上運(yùn)動，則線段AB的中點M的軌跡方程 +（y﹣2）2=1
③已知M={（x，y）|y= }，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠，則b∈[﹣ ， ]；
④已知圓C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0，b＞0，c＞0）與x軸相交，與y軸相離，則直線ax+by+c=0與直線x+y+1=0的交點在第二象限．
其中表述正確的是（ （填上所有正確結(jié)論對應(yīng)的序號）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①直線（3+m）x+4y﹣3+3m=0（m∈R）得m（x+3）+3x+4y﹣3=0， 由 得 ，即直線恒過定點（﹣3，3）；故①正確，
②設(shè)AB的中點M（x，y），A（x1 ， y1），
又B（3，4），由中點坐標(biāo)公式得： ，
即 ．
∵點A在圓x2+y2=4上運(yùn)動，
∴ ．
即（2x﹣3）2+（2y﹣4）2=4，整理得： +（y﹣2）2=1．
∴線段AB的中點M的軌跡為 +（y﹣2）2=1，故②正確，
③集合M表示圓心為原點，半徑為1的上半圓，集合N表示直線y=x+b，如圖所示，
當(dāng)直線y=x+b過A點時，把A（1，0）代入得：b=﹣1；
當(dāng)直線y=x+b與圓相切，且切點在第二象限時，
圓心到直線的距離d=r，即 =1，即b= （負(fù)值舍去），
則M∩N≠時，實數(shù)b的范圍是[﹣1， ]．故③錯誤，
④解：由圓C：（x﹣b）2+（y﹣c）2=a2（a＞0），得到圓心坐標(biāo)為（b，c），半徑r=a，
∵圓C與x軸相交，與y軸相離，
∴b＞a＞0，0＜c＜a，即b﹣a＞0，a﹣c＞0，
聯(lián)立兩直線方程得： ，
由②得：x=﹣y﹣1，代入①得：a（﹣y﹣1）+by+c=0，
整理得：（b﹣a）y=a﹣c，
解得：y= ，
∵﹣a＞0，a﹣c＞0，
∴ ＞0，即y＞0，
∴x=﹣y﹣1＜0，
則兩直線的交點在第二象限．故④正確，
所以答案是：①②④
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．