Question

．（本小題滿分12分）
如圖，四面體ABCD中，O是BD的中點，△ABD和△BCD均為等邊三角形，AB=2，AC=

（1）求證：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A—BC—D的余弦值；
（3）求點O到平面ACD的距離．

Answer 1

解法一：（1）連接OC，
∵△ABD和△CBD為等邊三角形，O為BD的中點，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AB=2，AC=，
∴AO= CO=．…………………………3分
在△AOC中，∵AO2+ CO2= AC2，
∴∠AOC=90o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD．………………4分
（2）過O作OE⊥BC于E，連接AE，∵AO⊥平面BCD，
∴AE在平面BCD上的射影為OE，∴AE⊥BC，
∴∠AEO為二面角A—BC—D的平面角．………………6分
在Rt△AEO中，AO=，OE=，
tan∠AEO==2，cos∠AEO=，
∴二面角A—BC—D的余弦值為．……………………8分
（3）設(shè)點O到平面ACD的距離為h．
∵VO—ACD= VA—OCD，∴S△ACD·h—=S△OCD·AO．
在△ACD中，AD= CD=2，AC=，  
S△ACD=·．
而AO=，S△OCD=，
∴，
∴點O到平面ACD的距離為．…………………………12分
解法二：（1）同解法一．……………………………………4分
（2）以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則…………5分
∵AO⊥平面BCD，
∴平面BCD的法向量=（0，0，）…………6分
設(shè)平面ABC的法向量n=（x，y，z），
=（0，-1，-），=（，1，0）．

n·

n·

       由 n=（1，-，1）．

|n|·

n·

       設(shè)n與的夾角為，則|cos|==，

        ∴二面角A—BC—D的余弦值為．…………………………8分
（3）設(shè)平面ACD的法向量m=（x，y，z），

|m|·

m·

       又與m的夾角為，則|cos|==．

       設(shè)點O到平面ACD的距離為h，
∵h=，
∴點O到平面ACD的距離為．…………………………12分

解析