Question

（本題滿分18分）第一題滿分4分，第二題滿分6分，第三題滿分8分．

已知橢圓的長軸長是焦距的兩倍，其左、右焦點(diǎn)依次為、，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；

（2）在（1）的條件下，直線過焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦長等于的周長，求直線的方程；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長為連續(xù)的自然數(shù).

Answer 1

解：（1）設(shè)橢圓的實(shí)半軸長為a,短半軸長為b，半焦距為c,

當(dāng)=1時(shí)，由題意得，a=2c=2,, 

所以橢圓的方程為.（4分）

（2）依題意知直線的斜率存在，設(shè)，由得，，由直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，可知.設(shè)，由韋達(dá)定理得，則（6分）又的周長為，所以，          （8分）

解得，從而可得直線的方程為        （10分）

（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，

由題意得，所以橢圓的方程為

聯(lián)立解得即。

所以，，，

即的邊長分別為、、，顯然，

所以，故當(dāng)時(shí)，使得的邊長為連續(xù)的自然數(shù).  （18分）