Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AC=2AB=4，AA₁=4

3

，M為CC₁的中點(diǎn)．
（I）求證：BM⊥平面A₁B₁M；
（II）求平面A₁BM與平面ABC所成銳二面角的大��；
（III）求點(diǎn)C到平面A₁BM的距離．

Answer 1

分析：（I）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以平面A₁B₁C₁⊥平面B₁BCC₁，由A₁B₁⊥B₁C，知A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，所以BM⊥A₁B₁，由此能夠證明BM⊥平面A₁B₁M．
（II）設(shè)A₁M∩AC=E，連接BE，作CF⊥BE，垂足為F，連接MF，則BE⊥MF．于是∠MFC為所求二面角的平面角．由此能求出平面A₁BM與平面ABC所成銳二面角的大�。�
（III）作CH⊥FM，垂足為H，由BF⊥平面CFM，知平面A₁BM⊥平面CFM，所以CH⊥平面A₁BM，由此能求出點(diǎn)C到平面A₁BM的距離．

解答：解：（I）因為ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
所以平面A₁B₁C₁⊥平面B₁BCC₁，
∵A₁B₁⊥B₁C，∴A₁B₁⊥平面B₁BCC₁，∴BM⊥A₁B₁，
∵AC=2AB=4，∠ABC=90°∴角BAC=60°，∴BC=2

3

，
由已知，CM=C₁M=2

3

，∴∠BMC=∠B₁MC₁=45°，∠BMB₁=90°，
即BM⊥B₁M，又A₁B₁∩B₁M=B₁，
∴BM⊥平面A₁B₁M，…（4分）
（II）設(shè)A₁M∩AC=E，連接BE，作CF⊥BE，垂足為F，連接MF，則BE⊥MF．
于是∠MFC為所求二面角的平面角．  …（5分）
由M是CC₁中點(diǎn)，知CE=AC=4，在△BCE中，∠BCE=150°，
BE=

BC2+CE2-2BC•CE•cos150°

=2

13

．
∵

1

2

BE•CF=

1

2

BC•CE•sin150°，
∴

1

2

×2

13

×CF=

1

2

×2

3

×4×

1

2

，
∴CF=

2 3

13

，
tan∠MFC=

CM

CF

=

13

，…（6分）
所以平面A₁BM與平面ABC所成銳二面角的大小為arctan

13

．…（8分）
（III）作CH⊥FM，垂足為H，
由（II）的解答，知BF⊥平面CFM，
則平面A₁BM⊥平面CFM，所以CH⊥平面A₁BM，CH即所求
∵tan∠MFC=

13

，
∴sin∠MFC=

13

14

，
∴CH=CFsin∠MFC=

42

7

為所求．
即點(diǎn)C到平面A₁BM的距離是

42

7

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查二面角的求法和求點(diǎn)到平面的距離，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．