Question

在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA₁＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，如圖所示．

(1)求證：AC⊥BC₁；

(2)求證：AC₁∥平面CDB₁；

(3)求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)證明：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5， 　　∴AC⊥BC． 　　∵BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC， 　　∴AC⊥BC1． 　　(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE． 　　∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中點(diǎn)， 　　∴DE∥AC1． 　　∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 　　∴AC1∥平面CDB1． 　　(3)解：∵DE∥AC1， 　　∴∠CED為AC1與B1C所成的角． 　　在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝， 　　CE＝CB1＝2． 　　∴cos∠CED＝ 　　∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為 　　解法二：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三邊長(zhǎng)AC＝3，BC＝4，AB＝5， 　　∴AC、BC、C1C兩兩垂直． 　　如圖所示，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)，D(，2，0)． 　　(1)證明：∵＝(－3，0，0)，＝(0，－4，4)， 　　∴·＝0．∴AC⊥BC1． 　　(2)證明：設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，則E(0，2，2)． 　　∵＝(－，0，2)，＝(－3，0，4)， 　　∴＝．∴DE∥AC1． 　　∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1， 　　∴AC1∥平面CDB1． 　　(3)解：∵＝(－3，0，4)，＝(0，4，4)， 　　∴cos＜＞ 　　∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為．