Question

一條曲線是用以下方法畫成：△ABC是邊長為1的正三角形，曲線CA₁、A₁A₂、A₂A₃分別以A、B、C為圓心，AC、BA₁、CA₂為半徑畫的弧，CA₁A₂A₃為曲線的第1圈，然后又以A為圓心，AA₃為半徑畫弧，這樣畫到第n圈，則所得曲線CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的總長度S_n為

1. A.
   
2. B.
   2π（3n-1）
3. C.
   n（n+1）π
4. D.
   n（3n+1）π

Answer 1

D
分析：由題知如果這樣畫到第n圈得到n條螺旋線，是由3n條弧長構(gòu)成，這些弧長的圓心角都為，根據(jù)弧長公式得到這些弧長是為首項，為公差，項數(shù)為3n的等差數(shù)列，所以這些螺旋線的總長度即為等差數(shù)列的前3n的和，求出即可．
解答：根據(jù)弧長公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的長度分別為，，…，
化簡得：，2×，…，3n×，此數(shù)列是為首項，為公差，項數(shù)為3n的等差數(shù)列，
則根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得S_n=3n×+=n（3n+1）π．
故選D．
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)得到各弧長成等差數(shù)列，屬于中檔題．