Question

（2013•上海）對(duì)區(qū)間I上有定義的函數(shù)g（x），記g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定義域?yàn)閇0，3]的函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f^-1（x），且f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）-x=0有解x₀，則x₀=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)定義域、值域互換可判斷：當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，x∈[1，2）時(shí)f（x）的值域，進(jìn)而可判斷此時(shí)f（x）=x無(wú)解；由f（x）在定義域[0，3]上存在反函數(shù)可知：x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值集合，再根據(jù)方程f（x）=x有解即可得到x₀的值．

解答：解：因?yàn)間（I）={y|y=g（x），x∈I}，f^-1（[0，1））=[1，2），f^-1（2，4]）=[0，1），
所以對(duì)于函數(shù)f（x），
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無(wú)解；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）-x=0即f（x）=x無(wú)解；
所以當(dāng)x∈[0，2）時(shí)方程f（x）-x=0即f（x）=x無(wú)解，
又因?yàn)榉匠蘤（x）-x=0有解x₀，且定義域?yàn)閇0，3]，
故當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）的取值應(yīng)屬于集合（-∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），
故若f（x₀）=x₀，只有x₀=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)及反函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬中檔題．