Question

【題目】已知函數(shù).（其中常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得，再分參數(shù)當(dāng)和兩種情況具體討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)關(guān)系判斷即可；

（2）解法不唯一，由原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，采用構(gòu)造函數(shù)法，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，可設(shè)，求導(dǎo)判斷可知，進(jìn)而得出當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴，從而得證；還可采用合并參數(shù)形式得，令，討論可判斷，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)且時(shí)，，要證對(duì)任意的，成立，只需證，可化為，令，通過(guò)討論確定函數(shù)極值點(diǎn)進(jìn)而得證；其余證法詳見(jiàn)解析

（1）.

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，由解得，由解得.

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）證法一：原不等式等價(jià)于

令，則.

當(dāng)時(shí)，，

令，則當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即，

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

∴

即，故.

證法二：原不等式等價(jià)于.

令，則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí)，顯然成立；

當(dāng)且時(shí)，.

欲證對(duì)任意的，成立，只需證

思路1：∵，∴不等式可化為，

令，則，

易證當(dāng)時(shí)，，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴

∴，即，

從而，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，.

思路2：令，則.

，或

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∵，

∴，即.

從而，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，.

證法三：原不等式等價(jià)于.

令，則.

令，則，其中.

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

注意到，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴，即.

②當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

②（i）：若，則.

∵

∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

與①同，不等式成立.

②（ii）：若，則，

∵

∴，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∵

∴此時(shí)，，即.

綜上所述，結(jié)論得證