Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2），a₁=

1

2

．
（1）求證：{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）求a_n表達(dá)式；
（3）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求證：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中已知條件化簡(jiǎn)可得出S_n與S_n-1的關(guān)系，再求出S1 的值即可證明{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）中求得的S_n與S_n-1的關(guān)系先求出數(shù)列{

1

Sn

}的通項(xiàng)公式，然后分別討論n=1和n≥2時(shí)a_n的表達(dá)式；
（3）根據(jù)（2）中求得的a_n的表達(dá)式即可求出bn的表達(dá)式，然后將bn的表達(dá)式代入b₂²+b₃²+…+b_n²中，利用縮放法即可證明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

解答：解（1）∵-a_n=2S_nS_n-1，
∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2）
S_n≠0，∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，又

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是以2為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．

（2）由（1）

1

Sn

=2+（n-1）2=2n，
∴S_n=

1

2n

當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2n(n-1)

n=1時(shí)，a₁=S₁=

1

2

，
∴a_n=

1 2 (n=1) - 1 2n(n-1) (n≥2)

；

（3）由（2）知b_n=2（1-n）a_n=

1

n

∴b₂²+b₃²+…+b_n²=

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列的基本性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．