Question

【題目】已知，其中.

（1）當時，求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求證：對任意，函數(shù)的圖象在點處的切線恒過定點；

（3）是否存在實數(shù)的值，使得在上有最大值或最小值，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）或.

【解析】

試題（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)大于零時解集得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，注意兩個增區(qū)間不可用“或” 、“并”連接，（2）以算代證：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，再根據(jù)點斜式寫切線方程，并按實數(shù)整理，最后根據(jù)恒成立列關(guān)于的方程組，解出定點坐標，（3）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再研究導(dǎo)函數(shù)零點，即轉(zhuǎn)化為研究一元二次方程實根分布：沒有實根或有兩個相同實根時，導(dǎo)函數(shù)不變號，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，值域為，沒有最值；有兩個不同實根時，函數(shù)先增后減再增，只需極小值非正， 就可取到最小值，解不等式可得實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，.

令，得或.

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.

（2），

，.

∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.

即.

方程可化為，

當即時，對任意，恒成立.

∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程經(jīng)過定點.

（3）.

令，，

，.

①當即時，，

∴，

∴在上單調(diào)遞增，

∴在上不存在最大值和最小值.

②當即或時，設(shè)方程的兩根為.

隨的變化情況如下表：

當時，，；當時，.

∴要使在上有最大值或最小值，只需滿足即有解.

∴，解得或.

綜上可得，或.