Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）求該函數(shù)的值域；
（3）證明f（x）是R上的增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）用函數(shù)的奇偶性定義判斷，先求函數(shù)的定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f（-x）與f（x）是相等還是相反即可
（2）可運(yùn)用分離常數(shù)的辦法求此函數(shù)的值域，將函數(shù)f（x）=等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（x）=1-，再由復(fù)合函數(shù)值域的求法即換元法，求此函數(shù)值域即可
（3）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再證明導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即可證明f（x）是R上的增函數(shù)，也可用單調(diào)性定義證明
解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，
f（-x）+f（x）=+
==0
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)  
 （2）∵f（x）==1-   （a＞1）
設(shè)t=a^x，則t＞0，y=1-的值域?yàn)椋?1，1）
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）
（3）證明：法一：∵f′（x）=＞0
∴f（x）是R上的增函數(shù)
法二：設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則f（x₁）-f（x₂）=-=
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∴＜0，＞0，＞0，
∴＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法，求函數(shù)值域的方法和證明函數(shù)單調(diào)性的方法，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握基本概念，熟練的運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸思想解題