Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，底面ABCD為正方形，且PD=AD，點E和點F分別是PB和CD的中點，PH為△PAD中AD邊上的高．
（1）證明：PH⊥平面ABCD；
（2）證明：平面PBF⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（1）根據AB⊥面PAD結合線面垂直的性質可得AB⊥PH，結合PH為△PAD中AD邊上的高及線面垂直的判定定理，可得PH⊥平面ABCD；
（2）取PA中點G，連接DG，GE，可證得四邊形DGEF為平行四邊形，根據等腰三角形三線合一可得DG⊥PA，再由（1）中結論及線面垂直的判定定理可證DG⊥平面PAB，由線面垂直的第二判定定理可得EF⊥平面PAB，最后由面面垂直的判定定理得到答案．

解答：證明：（1）∵AB⊥面PAD，PH?面PAD，
∴AB⊥PH，
又∵PH⊥AD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD；
（2）取PA中點G，連接DG，GE，

∵GA=GP，PE=EB ∴GE= 1 2 AB，GE∥AB

又∵DF=

1

2

CD，DF∥CD，CD=AB，
∴GE=DF且GE∥DF，即四邊形DGEF為平行四邊形，
∴EF∥DG，
∵DP=DA
∴DG⊥PA，
又∵AB⊥平面PAD，DG?平面PAD
∴AB⊥GD，
又∵PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DG⊥平面PAB，
∵DG∥EF，
∴EF⊥平面PAB，
又∵EF?平面PBF
∴平面PBF⊥平面PAB．

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面垂直的判定，熟練掌握空間線線垂直，線面垂直及在面垂直之間的相互轉化是解答的關鍵．