Question

在等差數列{a_n}中，a₁+a₂=5，a₃=7，記數列{}的前n項和為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在正整數m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_ntS_n成等比數列？若存在，求出所有符合條件的m，n值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，依題意，得到關于首項與公差的方程組，解之即可求得數列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項法可求得S_n=，假設存在正整數m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比數列，可求得n=，從而得1＜m＜1+＜3，由m∈N^*，可求得m=2，繼而可求得n．
解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，因為，即…2
解得…3
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=3n-2（n∈N^*）…4
（2）∵==（-）…5
∴數列{}的前n項和
S_n=++…+
=（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）
=（1-）=…7
假設存在正整數m、n，且1＜m＜n，使得S₁、S_m、S_n成等比數列，
則=S₁•S_n…8
即=×…9
∴n=，
因為n＞0，所以-3m²+6m+1＞0，即3m²-6m-1＜0，
因為m＞1，所以1＜m＜1+＜3，
因為m∈N^*，所以m=2…12
∴存在滿意的正整數m=2，n=16，且只有一組解，即數m=2，n=16．
點評：本題主要考查等差數列、裂項法求和等基礎知識，考查運算求解能力和推理論證能力，屬于難題．