Question

已知AB是拋物線y²=ax（a＞0）的焦點弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點F是拋物線的焦點，則|AB|=

a

sin2θ

（θ為直線AB的傾斜角）．

Answer 1

分析：設直線AB的方程為x=my+

a

4

，與拋物線方程聯(lián)解并利用根與系數的關系算出x₁+x₂=am²+

a

2

，結合拋物線的定義得到|AB|=a（m²+1）=

a

sin2θ

．利用解三角形算出O到AB的距離d=

asinθ

4

，從而算出S_△AOB=

1

2

•|AB|•d=

a2

8sinθ

．

解答：解：∵拋物線y²=ax（a＞0）的焦點坐標為F（

a

4

，0）
∴設直線AB的方程為x=my+

a

4

，（m是斜率tanθ的倒數）
代入y²=ax，可得y²-amy-

a2

4

=0
∴y₁+y₂=am，y₁y₂=-

a2

4

，
可得y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=a²m²+

a2

2

，
∵y₁²+y₂²=a（x₁+x₂），∴x₁+x₂=am²+

a

2

，
∴焦點弦|AB|=x₁+x₂+

a

2

=am²+a=a（m²+1），
∵m²+1=

1

tan2θ

+1=

1

sin2θ

∴|AB|=am²+a=

a

sin2θ

∵∠OFB=θ，得O到AB的距離d=|OF|sinθ=

asinθ

4

∴S_△AOB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

•

a

sin2θ

•

asinθ

4

=

a2

8sinθ

故答案為：

a2

8sinθ

點評：本題給出拋物線焦點弦的傾角，求焦點弦與原點構成三角形的面積，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質、三角函數化簡和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．