Question

（07年遼寧卷）（14分）

已知正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓是的內(nèi)接圓（點(diǎn)為圓心）

（I）求圓的方程；

（II）設(shè)圓的方程為，過圓上任意一點(diǎn)分別作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，求的最大值和最小值．

Answer 1

本小題主要考查平面向量，圓與拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基本知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問題的能力．

解析：（I）解法一：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，由題設(shè)知

．

解得，

所以，或，．

設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為

．

解法二：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，由題設(shè)知

．

又因?yàn)?IMG height=25 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325134550017.gif' width=56>，，可得．即

．

由，，可知，故兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，所以圓心在軸上．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，于是有，解得，所以圓的方程為．

（II）設(shè)，則

．

在中，，由圓的幾何性質(zhì)得

，，

所以，由此可得

．

則的最大值為，最小值為．