Question

已知函數(shù)f(x)＝x²－mlnx

(1)若函數(shù)f(x)在(，＋∞)上是遞增的，求實數(shù)m的取值范圍；

(2)當m＝2時，求函數(shù)f(x)在[1，e]上的最大值和最小值

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） 

【解析】

試題分析：（1）主要利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增轉化為導數(shù)在該區(qū)間上恒大于零，然后再把恒成立問題轉化為最值來求；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，然后求對應的最值；

試題解析：（1）若函數(shù)f(x)在(，＋∞)上是增函數(shù)，

則f′(x)≥0在(，＋∞)上恒成立                        2分

而f′(x)＝x－，即m≤x²在(，＋∞)上恒成立，即m≤       8分

(2)當m＝2時，f′(x)＝x－＝，              

令f′(x)＝0得x＝±，              10分

當x∈[1，)時，f′(x)<0，當x∈(，e)時，f′(x)>0，

故x＝是函數(shù)f(x)在[1，e]上唯一的極小值點，

故f(x)_min＝f()＝1－ln2，

又f(1)＝，f(e)＝e²－2＝>，故f(x)_max＝         16分

考點：導數(shù)、函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值