Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c的圖象過(guò)A（t₁，y₁）、B（t₂，y₂）兩點(diǎn)，且滿足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）證明y₁=-a或y₂=-a；
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}，解關(guān)于x的不等式cx²-bx+a＞0．

Answer 1

分析：（1）由題知a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0解得y₁或y₂即可；
（2）討論a＞0，函數(shù)為開口向上的拋物線，a＜0時(shí)函數(shù)圖象開口向下，由（2）得圖象上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)大于小于0得到與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)已知不等式的解集得到a的符號(hào)且可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)不等式求出解集即可．

解答：解：（1）證明：∵a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
∴（a+y₁）（a+y₂）=0，得y₁=-a或y₂=-a．
（2）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)f（x）的圖象開口向上，圖象上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為-a且小于零，
∴圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)f（x）的圖象開口向下，圖象上的點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)至少有一個(gè)為-a且大于零，
∴圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
故二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（3）∵ax²+bx+c＞0的解集為{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根據(jù)一元二次不等式大于0取兩邊，從而可判定a＞0，
并且可得ax²+bx+c=0的兩根為m，n，
∴

m+n=- b a m•n= c a ＞0

，∴a＞0
∴

m+n

m•n

=

- b a

a c

=-

b

c

．
而cx²-bx+a＞0?x²-

b

c

x+

a

c

＞0?x²+（

m+n

mn

）x+

1

mn

＞0?（x+

1

m

）（x+

1

n

）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-

1

n

＜-

1

m

，∴x＞-

1

m

或x＜-

1

n

．
故不等式cx²-bx+a＞0的解集為{x|x＞-

1

m

或x＜-

1

n

}．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用能力，以及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的靈活運(yùn)用，不等式取解集方法的運(yùn)用能力．