Question

【題目】已知橢圓的長軸長為, 為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率;

（Ⅱ）設(shè)點,動點在橢圓上,且在軸的右側(cè),線段的垂直平分線與軸相交于點,求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓的方程為,離心率為；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由橢圓長軸長為可得，解出即可得橢圓方程即離心率；（Ⅱ）設(shè)點，利用中點坐標公式可得：線段的中點坐標，由垂直平分線可可得直線的斜率為，利用直線的方程可得的縱坐標，又，得，可得，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

試題解析：（Ⅰ）因為橢圓的長軸長為,所以

所以,所以,,而,所以

所以橢圓的方程為,離心率為.

（Ⅱ）設(shè),因為點在橢圓上,且在軸的右側(cè), 所以,

因為,所以的中點,，所以線段的垂直平分線的斜率,且過點，所以線段的垂直平分線的方程為

令,則,而

所以 ，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為.