Question

設(shè)f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（1）若a≤0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若x=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
證明：當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)a≤0，然后當(dāng)f'（x）＜0時(shí)可求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)f'（x）＞0時(shí)可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由x=1時(shí)，f（x）有極值，得到f′（1）=0，即可得到a的值，再確定函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)增，求出最大值和最小值，故根據(jù)任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2，將cosθ、sinθ代入即可得到答案．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x（ax²+x+1），
∴f′（x）=e^x（ax²+x+1）+e^x（2ax+1）=e^x[ax²+（2a+1）x+2]，
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=e^x（x+2），令f′（x）＞0，可得x＞-2，令f′（x）＜0，可得x＜-2，
∴f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，+∞）上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）═ae^x（x+

1

a

）（x+2），
令f′（x）＞0，可得-2＜x＜-

1

a

，令f′（x）＜0，可得x＜-2或x＞-

1

a

，
∴f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，在（-2，-

1

a

）上單調(diào)遞增．
綜合①②，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，-2）和（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減，在（-2，-

1

a

）上單調(diào)遞增；
（2））∵當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極值，
∴f′（1）=0，
∴3ae（1+

1

a

）=0，解得a=-1，
∴f（x）=e^x（-x²+x+1），f′（x）=-e^x（x-1）（x+2），
令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，
∴f（x）在[-2，1]上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)增，
∴f（x）在[0，1]的最大值為f（1）=e，最小值為f（0）=1，
從而對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]，有|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1＜2．
而當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，cosθ，sinθ∈[0，1]．
從而|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2，
故當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時(shí)，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、分類討論思想方法等基礎(chǔ)知識(shí)與方法，同時(shí)考查了有關(guān)不等式的證明，需要較強(qiáng)的推理能力和計(jì)算能力．屬于中檔題．