Question

（2009湖南卷文）（本小題滿分13分）

對于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有

,            

則稱數(shù)列為數(shù)列.

（Ⅰ）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由;

（Ⅱ）設是數(shù)列的前n項和.給出下列兩組判斷：

A組：①數(shù)列是B-數(shù)列,      ②數(shù)列不是B-數(shù)列;

B組：③數(shù)列是B-數(shù)列,      ④數(shù)列不是B-數(shù)列.

請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個命題.

判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論；

(Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。

Answer 1

解析: （Ⅰ）設滿足題設的等比數(shù)列為,則.于是

    

            

==

所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列    .

（Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題.

事實上設=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n，

       .

由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。

命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。

事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有

       ,

       即.于是

,

所以數(shù)列是B-數(shù)列。

（注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法）           

 (Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有

     .

因為

            .

記，則有

                      .

因此.

故數(shù)列是B-數(shù)列.