Question

設函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象經(jīng)過兩點（0，1），（

π

2

，1），且在0≤x≤

π

2

內(nèi)|f(x)|≤2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f（x）=a+bcosx+csinx的圖象過點（0，1）和點 (

π

2

，1)，找到a，b，c之間的關系，根據(jù)輔助角公式，可將函數(shù)解析式進行化簡，然后分類討論a取不同值時，|f（x）|≤2的解集情況，綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：由圖象過兩點得1=a+b，1=a+c，∴b=1-a，c=1-a，f(x)=a+(1-a)(sinx+cosx)=a+

2

(1-a)sin(x+

π

4

)∵0≤x≤

π

2

，則

π

4

≤x+

π

4

≤

3

4

π，
∴

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1
當a＜1時，1≤f(x)≤

2

+(1-

2

)a，要使|f(x)|≤2，
只須

2

+(1-

2

)a≤2解得a≥-

2

當a＞1時，

2

+(1-

2

)a≤f(x)≤1
要使|f(x)|≤2只須

2

+(1-

2

)a≥-2解得a≤4+3

2

，
故所求a的范圍是-

2

≤a≤4+3

2

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，其中根據(jù)已知條件易找到a，b，c之間的關系，再根據(jù)輔助角公式，可將函數(shù)解析式變形成正弦函數(shù)的形式是解答本題的關鍵．