Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：Sn=

an2

4

+n，a_n＞0．
（1）求{a_n}的表達(dá)式；
（2）將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)循環(huán)地分為（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），
…，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，求b₂₀₁₀的值；
（3）如果將數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，…，m（m≥3）項(xiàng)循環(huán)；分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為{b_n}，提出同（2）類似的問(wèn)題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？

Answer 1

分析：（1）由：Sn=

an2

4

+n，可用a_n與S_n的關(guān)系求解；
（2）先由數(shù)列{a_n}將（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇），（a₈，a₉），（a₁₀，a₁₁，a₁₂），轉(zhuǎn)化為（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），按照每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào)的規(guī)律抽象出b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，組成一個(gè)首項(xiàng)為b₃，公差為36的等差數(shù)列．
（3）由“提出同（2）類似的問(wèn)題（（2）應(yīng)當(dāng)作為特例）”即研究：當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí)，求b_n．按照（2）的思路解決．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=

a12

4

+1，a12-4a1+4=0，解得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a n=S n-Sn-1=(

an2

4

+n)-(

an-12

4

+n-1)，整理得（a_n+a_n-1-2）（a_n-a_n-1-2）=0，
所以a_n-a_n-1=2，或a_n+a_n-1=2（不合題意，舍去，否則a_2n=0與已知矛盾），
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且公差為2，首項(xiàng)a₁=2，從而a_n=2n．（5分）
（2）數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14），（16，18），（20，22，24），，每一次循環(huán)記為一組．由于每一個(gè)循環(huán)含有3個(gè)括號(hào)，故b₂₀₀₉是第670組中第2個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和．
由分組規(guī)律知，b₃，b₆，b₈，，b₂₀₁₀，組成一個(gè)首項(xiàng)為b₃=8+10+12=30，公差為d=36的等差數(shù)列．所以b₂₀₁₀=30+（670-1）×36=24114．（10分）
（3）當(dāng)n是m的整數(shù)倍時(shí)，求b_n的值．
數(shù)列{a_n}依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)，，m項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），，（m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m）；（m²+m+2）（m²+m+4，m²+m+6），，（2m²+2，2m²+4，，2m²+2m），（2m²+2m+2），
第m組，第2m組，，第km（k∈N^*）組的第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)，，第m個(gè)數(shù)分別組成一個(gè)等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為m²-m+2，m²-m+4，m²-m+6，，m²+m公差均為m（m+1）
則第m組、第2m組，，第km組，的各數(shù)之和也組成一個(gè)等差數(shù)列，其公差為m²（m+1）
第m組的m個(gè)數(shù)之和為

m[(m2-m+2)+(m2+m)]

2

=m3+m
∴當(dāng)n=km時(shí)，b_n=b_km=m³+m+（k-1）m²（m+1）．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，由數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列和轉(zhuǎn)化數(shù)列的能力．