Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時f（x）=2x-x²；
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2）畫出其大致圖象并指出其單調區(qū)間．
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+k-1有三個零點，求K的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，先設x＜0時，則-x＞0，結合題意得到f（-x）=-（-x）²+2（-x），然后利用函數(shù)的奇偶性進行化簡，進而得到函數(shù)的解析式．
（2）先畫出當x≥0時，的函數(shù)圖象，結合奇函數(shù)圖象關于原點對稱可畫出x＜0時的函數(shù)圖象即可
（3）結合函數(shù)的圖象進行判斷

解答：（1）解：當x＜0時，則-x＞0，
因為當x≥0時，f（x）=-x²+2x
所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x
又因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），
所以-f（x）=-x²-2x
∴f（x）=x²+2x，x＜0
∴f(x)=

-x2+2x，x≥0 x2+2x，x＜0

…（4分）
（2）圖象如圖
其單調遞增區(qū)間[-1，1]，單調遞減區(qū)間（-∞，-1），（1，+∞）…（9分）
（3）∵g（x）=f（x）+k-1有三個零點
即f（x）與y=1-k有三個交點（0，2），結合（2）中函數(shù)的圖象可得-1＜1-k＜1
∴0＜k＜2（13分）

點評：本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，及利用函數(shù)的圖象求解函數(shù)的單調區(qū)間及方程的零點與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)的相互關系的轉化