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        1. 如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC=60°,平面AA1CC1⊥平面ABCD,∠A1AC=60°
          (1)求二面角D-A1A-C的大。
          (2)求點(diǎn)B1到平面A1ADD1的距離
          (3)在直線(xiàn)CC1上是否存在P點(diǎn),使BP∥平面DA1C1,若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說(shuō)出理由.
          分析:(1)設(shè)BD與AC交于O,作OK⊥AA1于K,連接DK,則DK⊥AA1,OD⊥OK,故∠DKO為二面角D-A1A-C的平面角,從而可求二面角D-A1A-C的大小.
          (2)連結(jié)A1O、A1B,由于B1B∥平面A1A DD1,所以B、B1到平面A1A DD1的距離相等,由VB-A1DA=VA1-ABD,可求點(diǎn)B1到平面A1ADD1的距離;
          (3)存在,點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線(xiàn)上且CP=C1C,利用線(xiàn)面平行的判定定理,可得結(jié)論.
          解答:解:(1)設(shè)BD與AC交于O,作OK⊥AA1于K,連接DK,則DK⊥AA1,OD⊥OK,
          故∠DKO為二面角D-A1A-C的平面角,
          ∵∠OAK=60°,∴OK=
          3
          2

          在菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=60°
          ∴AC=AB=BC=2
          ∴AO=1,DO=
          AB2-AO2
          =
          3

          ∴tan∠DKO=2,
          ∴二面角D-A1A-C的平面角的余弦值是
          5
          5

          ∴二面角D-A1A-C的大小為arccos
          5
          5
          ;
          (2)連結(jié)A1O、A1B,由于B1B∥平面A1A DD1,所以B、B1到平面A1A DD1的距離相等,
          設(shè)點(diǎn)B到平面A1A DD1的距離等于h.
          在△AA1O中,A1O2=A1A2+AO2-2A1A•AOcos60°=3
          A1O2+AO2=A1A2
          ∴A1O⊥AO
          而平面A A1C1C⊥平面ABCD,∴A1O⊥平面ABCD
          由上述第(1)問(wèn)有,ED⊥A1A1ED=
          EO2+DO2
          =
          15
          2

          SA1DA=
          1
          2
          A1A•ED
          =
          1
          2
          ×2×
          15
          2
          =
          15
          2

          S△ABD=
          1
          2
          AO•BD
          =
          1
          2
          ×1×2
          3
          =
          3

          VB-A1DA=VA1-ABD
          1
          3
          SA1DA•h=
          1
          3
          S△ABDA1O

          h=
          S△ABD
          SA1DA
          A1O
          =
          3
          15
          2
          ×
          3
          =
          2
          15
          5

          即點(diǎn)B1到平面A1ADD1的距離d=
          2
          15
          5

          (3)存在,點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線(xiàn)上且CP=C1C,證明如下:
          延長(zhǎng)C1C到P使CP=C1C,連接B1C,BP,則BP∥B1C
          ∴BP∥A1D
          又A1D 平面?DA1C1,BP?平面DA1C1
          ∴BP∥平面DA1C1
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查了二面角及其度量,考查空間中直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2,∠ABC和∠A1B1C1均為60°,平面AA1C1C⊥平面ABCD.
          (I)求證:BD⊥AA1
          (II)求二面角D-AA1-C的余弦值;
          (III)在直線(xiàn)CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1,若存在,求出點(diǎn)P的位置,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)如圖四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為正方形,側(cè)棱與底邊長(zhǎng)均為a,且∠A1AD=∠A1AB=60°.
          ①求證四棱錐A1-ABCD為正四棱錐;
          ②求側(cè)面A1ABB1與截面B1BDD1的銳二面角大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          17、如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,AC∩BD=O,側(cè)棱AA1⊥BD,點(diǎn)F為DC1的中點(diǎn).
          (I) 證明:OF∥平面BCC1B1;
          (II)證明:平面DBC1⊥平面ACC1A1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖,棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形,平面AA1C1C⊥平面ABCD.?
          (1)證明:BD⊥AA1;?
          (2)證明:平面AB1C∥平面DA1C1
          (3)在直線(xiàn)CC1上是否存在點(diǎn)P,使BP∥平面DA1C1?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

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