Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)b=2a時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值？
（2）已知b＞0，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，試用b表示出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）把b=2a代入到f（x）中，求出f'（x）=0時(shí)x的值，利用a的范圍討論函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對(duì)x∈（0，2]恒成立，即恒成立，設(shè)g（x）=，求出導(dǎo)函數(shù)利用b的取值范圍討論函數(shù)的增減性得到g（x）的最小值，a小于等于最小值，列出不等式求出a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)b=2a時(shí)，，
所以f'（x）=x²-（a+2）x+2a=（x-2）（x-a）．令f'（x）=0，得x=2，或x=a．
①若a＜2，則當(dāng)x∈（-∞，a）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（a，2）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞增，在（a，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增．此時(shí)當(dāng)x=a時(shí)，f（x）有極大值；當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極小值．
②若a=2，則f'（x）=（x-2）²≥0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）無(wú)極值．
③若a＞2，則當(dāng)x∈（-∞，2）時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x∈（2，a）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，在（2，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．此時(shí)當(dāng)x=2時(shí)，f（x）有極大值；當(dāng)x=a時(shí)，f（x）有極小值．
（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（0，2]上單調(diào)遞增，所以f'（x）=x²-（a+2）x+b≥0對(duì)x∈（0，2]恒成立，
即對(duì)x∈（0，2]恒成立，所以．
設(shè)，則（b＞0），
①若，即0＜b＜4，則當(dāng)時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0．
所以g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，g（x）有最小值，所以當(dāng)0＜b＜4時(shí)，．
②若，即b≥4，則當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，g'（x）≤0，所以g（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=2時(shí)，g（x）有最小值，所以當(dāng)b≥4時(shí)，．
綜上所述，當(dāng)0＜b＜4時(shí)，；當(dāng)b≥4時(shí)，．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及會(huì)利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．