Question

【題目】已知四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，為正三角形，是的中點(diǎn)，過的平面平行于平面，且平面與平面的交線為，與平面的交線為．

（1）在圖中作出四邊形（不必說出作法和理由）；

（2）若，求平面與平面形成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）四邊形MNOE即為所求，其中N為PD中點(diǎn)，O為AD中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)；

（2）連結(jié)OP，推導(dǎo)出，，平面PAD，，從而平面ABCD，，，，以O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量能求出平面與平面PBC形成的銳二面角的余弦值.

（1）如圖，四邊形即為所求，其中為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)；

（2）連接，依題意：，

所以，則，

又因?yàn)?/span>且，

所以平面，則，

因?yàn)?/span>為正三角形且為中點(diǎn)，

所以平面，

則，，，

以為原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以，，，，

則，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

，解得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，解得．

則，

所以平面與平面形成的銳二面角的余弦值為.