Question

（本題滿分12分）
已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：
①對任意的，總有；②；③若且，則有成立，則稱為“友誼函數(shù)”.
（Ⅰ）若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由；
（Ⅲ）已知為“友誼函數(shù)”，且 ，求證:.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）滿足條件①﹑②﹑③所以為友誼函數(shù)
（Ⅲ）

解：（Ⅰ）取得,又由，得………………2分
（Ⅱ）顯然在上滿足①②，若，且，則有故滿足條件①﹑②﹑③所以為友誼函數(shù). ………………7分
（Ⅲ）因為，則0＜＜１，
所以 . ………………12分