Question

（2007•湛江二模）如圖，F(xiàn)是定直線l外的一個(gè)定點(diǎn)，C是l上的動(dòng)點(diǎn)，有下列結(jié)論：若以C為圓心，CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，則必在以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的同一條拋物線上．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出該拋物線的方程；
（Ⅱ）對以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題：“若過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線l相切”請問：此命題是正確？試證明你的判斷；
（Ⅲ）請選擇橢圓或雙曲線之一類比（Ⅱ）寫出相應(yīng)的命題并證明其真假．（只選擇一種曲線解答即可，若兩種都選，則以第一選擇為平分依據(jù)）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由切線長相等可想過F作l的垂線交l于K，以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn)，KF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線為以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，由拋物線的定義可得拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)出PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，再分別設(shè)出P、Q、M在拋物線準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D，因?yàn)镻Q是拋物線過焦點(diǎn)F的弦，由梯形中位線知識結(jié)合拋物線的定義可得以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線l相切；
（Ⅲ）選擇橢圓類比（Ⅱ）所寫出的命題為：
“過橢圓一焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線l相離”．
證明時(shí)由梯形中位線知識結(jié)合橢圓第二定義列式得到|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＞

|PQ|

2

從而問題得到證明，同樣選擇雙曲線進(jìn)行類比．

解答：解：（Ⅰ）過F作l的垂線交l于K，以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn)，KF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖1，
并設(shè)|KF|=p，則可得該拋物線的方程為 y²=2px（p＞0）；
（Ⅱ）該命題為真命題，證明如下：
如圖2，設(shè)PQ中點(diǎn)為M，P、Q、M在拋物線準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D，
∵PQ是拋物線過焦點(diǎn)F的弦，
∴|PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB的中位線，
∴|MD=

1

2

(|PA|+|QB|)=

1

2

(|PF|+|QF|)=

|PQ|

2

．
∵M(jìn)是以PQ為直徑的圓的圓心，
∴圓M與l相切．
（Ⅲ）選擇橢圓類比（Ⅱ）所寫出的命題為：
“過橢圓一焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線l相離”．
此命題為真命題，證明如下：
證明：設(shè)PQ中點(diǎn)為M，橢圓的離心率為e，
則0＜e＜1，P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D，
∵

|PF|

PA

=e，∴|PA|=

|PF|

e

，同理得|QB|=

|QF|

e

．
∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線，
∴|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＞

|PQ|

2

，
∴圓M與準(zhǔn)線l相離．
選擇雙曲線類比（Ⅱ）所寫出的命題為：
“過雙曲線一焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，則以PQ為直徑的圓與雙曲線相應(yīng)的準(zhǔn)線l相交”．
此命題為真命題，證明如下：
證明：設(shè)PQ中點(diǎn)為M，橢圓的離心率為e，
則e＞1，P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D，
∵

|PF|

PA

=e，∴|PA|=

|PF|

e

，同理得|QB|=

|QF|

e

．
∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線，
∴|MD|=

|PA|+|QB|

2

=

1

2

(

|PF|

e

+

|QF|

e

)=

|PQ|

2e

＜

|PQ|

2

，
∴圓M與準(zhǔn)線l相交．

點(diǎn)評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，綜合考查了學(xué)生的類比推理能力和計(jì)算能力，是有一定難度題目．