Question

（2011•重慶）設實數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（1）若a₁，S₂，﹣2a₂成等比數(shù)列，求S₂和a₃．
（2）求證：對k≥3有0≤a_k≤．

Answer 1

（1）S₂=﹣2  
（2）見解析

（1）由題意，
得S₂²=﹣2S₂，
由S₂是等比中項知S₂≠0，
∴S₂=﹣2．
由S₂+a₃=a₃S₂，解得．
（2）證明：因為S_n+1=a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=a_n+1+S_n，
由題設條件知S_n+a_n+1=a_n+1S_n，
∴S_n≠1，a_n+1≠1，且，
從而對k≥3 有a_k===①
因，且，
要證，由①，只要證
即證，即，
此式明顯成立，因此．