Question

定義在（0，+∞）上的增函數(shù)f（x）滿足：對任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1） 的值；
（2）請舉出一個符合條件的函數(shù)f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x²-5）-f（x）＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）令x=y=1即可求出
（2）舉一底數(shù)大于1的對手函數(shù)即可．
（3）先由f（2）=1求出f（4）=2，f（x²-5）-f（x）＜2?f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
再由單調(diào)性轉(zhuǎn)化出等價不等式求解即可．
解答：解：（1）令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=log_ax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等價于f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因為f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，所以

所以原不等式解集是
點評：本題考查抽象函數(shù)的解題方法：賦值法及函數(shù)單調(diào)性的應用：解不等式，難度不大．