Question

（2012•重慶）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為

1

3

，乙每次投籃投中的概率為

1

2

，且各次投籃互不影響．
（Ⅰ） 求甲獲勝的概率；
（Ⅱ） 求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析：設(shè)A_k，B_k分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（A_k）=

1

3

，P（B_k）=

1

2

（k=1，2，3）
（Ⅰ） 記“甲獲勝”為事件C，則P（C）=P（A₁）+P（

.

A1

.

B1

A2）+P（

.

A1

.

B1

.

A2

.

B2

A3），利用互斥事件的概率公式即可求解；
（Ⅱ） 投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)ξ的可能值為1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的分布列與期望．

解答：解：設(shè)A_k，B_k分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P（A_k）=

1

3

，P（B_k）=

1

2

（k=1，2，3）
（Ⅰ） 記“甲獲勝”為事件C，則P（C）=P（A₁）+P（

.

A1

.

B1

A2）+P（

.

A1

.

B1

.

A2

.

B2

A3）
=

1

3

+

2

3

×

1

2

×

1

3

+(

2

3

)2×(

1

2

)2×

1

3

=

13

27

；
（Ⅱ） 投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)ξ的可能值為1，2，3
P（ξ=1）=P（A₁）+P（

.

A1

B1）=

1

3

+

2

3

×

1

2

=

2

3

P（ξ=2）=P（

.

A1

.

B1

 A2）+P（

.

A1

.

B1

.

A2

 B2）=

2

3

×

1

2

×

1

3

+(

2

3

)2×(

1

2

)2=

2

9

P（（ξ=3）=P（

.

A1

.

B1

.

A2

.

B2

）=(

2

3

)2×(

1

2

)2=

1

9

ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	2 3	2 9	1 9

期望Eξ=1×

2

3

+2×

2

9

+3×

1

9

=

13

9

．

點(diǎn)評：本題考查互斥事件概率的求解，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題的關(guān)鍵是確定變量的取值，理解變量取值的含義，屬于中檔題．