Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，A和B是以O（O為坐標原點）為圓心，以|OF₁|為半徑的圓與該橢圓的兩個交點，且△F₂AB是等邊三角形，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：連結AF₁，根據(jù)圓的直徑的性質和等邊三角形的性質，證出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=

3

c．再利用橢圓的定義，得到2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：連結AF₁，
∵F₁F₂是圓O的直徑，∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等邊三角形，F(xiàn)₁F₂⊥AB，
∴∠AF₁F₂=

1

2

∠AF₂B=30°，
因此，Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=

1

2

|F₁F₂|=c，|F₂A|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c．
根據(jù)橢圓的定義，得2a=|F₁A|+|F₂A|=（1+

3

）c，解得a=

1+ 3

2

c，
∴橢圓的離心率為e=

c

a

=

c

1+ 3 2 c

=

3

-1．
故答案為：

3

-1

點評：本題給出以橢圓焦距F₁F₂為直徑的圓交橢圓于A、B兩點，在△F₂AB是等邊三角形的情況下求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．