Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px過點(diǎn)P（1，1）.過點(diǎn)（0， ）作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn).

（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（Ⅱ）求證：A為線段BM的中點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）方程為.焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.（2）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入點(diǎn)求得拋物線的方程，根據(jù)方程表示焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為（），與拋物線方程聯(lián)立，再由根與系數(shù)的關(guān)系，及直線ON的方程為，聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再證明.

試題解析：（Ⅰ）由拋物線C： 過點(diǎn)P（1，1），得.

所以拋物線C的方程為.

拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），準(zhǔn)線方程為.

（Ⅱ）由題意，設(shè)直線l的方程為（），l與拋物線C的交點(diǎn)為， .

由，得.

則， .

因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1），所以直線OP的方程為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

直線ON的方程為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>

，

所以.

故A為線段BM的中點(diǎn).