Question

已知二次函數f（x）=ax²+x，若對任意x₁、x₂∈R，恒有2f（

x1+x2

2

）≤f（x₁）+f（x₂）成立，不等式f（x）＜0的解集為A．
（1）求集合A；
（2）設集合B={x||x+4|＜α}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由對任意x₁、x₂∈R，恒有2f（

x1+x2

2

）≤f（x₁）+f（x₂）成立，得出a≥0，進一步可知a＞0，從而可解不等式．
（2）通過集合A，B的關系得到兩個集合端點的大小，列出不等式，求出a的范圍

解答：解：（1）對任意x₁、x₂∈R，由f（x₁）+f（x₂）-2f（

x1+x2

2

）=

1

2

a(x1-x2)2≥0成立．
要使上式恒成立，所以a≥0．…（3分）
由f（x）=ax²+x是二次函數知a≠0，故a＞0．…（4分），
解得A=(-

1

a

，0)．…（5分）
（2）解得B=（-a-4，a-4），…（6分）
因為集合B是集合A的子集，所以a-4≤0…（8分）
且-a-4≥-

1

a

，…（11分）
化簡a²+4a-1≤0，解得0＜a≤-2+

5

…（14分）

點評：本題是先給出新定義--凹函數，然后根據這個定義證明．這里主要考查學生接受新內容快慢的能力，將集合間的關系轉化為端點的大小的思想方法．