Question

已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，AB=4，AD=6，∠PDA=45°
（1）求證：MN⊥平面PCD；
（2）求四面體PMND的體積．

Answer 1

分析：（1）取PD的中點E，證明AMNE為平行四邊形，MN∥AE，由等腰直角三角形斜邊上的中線性質可得AE⊥PD，再由CD⊥AE  可得AE⊥平面PCD，故有MN⊥平面PCD．
（2）利用V_P-MND=V_M-PDN=

1

3

(

1

2

 PD•NE)•MN，進行運算．

解答：解：（1）證明：取PD的中點E，
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，AB=4，AD=6，
∴NE∥CD，NE=

1

2

CD，
故AM和NE平行且相等，故AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE．
∵∠PDA=45°，∴AE 是等腰直角三角形斜邊上的中線，∴AE⊥PD．
由CD垂直于面PAD可得  CD⊥AE．這樣，AE 垂直于平面PCD內的兩條相交直線PD和CD，
∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD．
（2）V_P-MND=V_M-PDN=

1

3

(

1

2

 PD•NE)•MN=

1

3

(

1

2

×6

2

×2)×3

2

=12．

點評：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，證明AE⊥平面PCD 是解題的關鍵．