Question

（本小題滿分14分）

如圖，在三棱柱中，底面，，E、F分別是棱的中點(diǎn).
（1）求證：AB⊥平面AA₁ C₁C；
（2）若線段上的點(diǎn)滿足平面//平面，試確定點(diǎn)的位置，并說明理由；
（3）證明：⊥A₁C.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）是線段的中點(diǎn)；（3）詳見解析．

試題分析：（1）求證：AB⊥平面AA₁ C₁C，證明線面垂直，只需證明線線垂直，即在平面找兩條直線與垂直，由已知平面，故，且，故可證得結(jié)論；（2）線段上的點(diǎn)滿足平面平面，且面面，面面，由面面平行的性質(zhì)可以得到，在中，已知是的中點(diǎn)，由中位線定理，即可確定點(diǎn)的位置；（3）證明：⊥A₁C，證明線線垂直，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，注意到四邊形是一個正方形，則，易證，可得平面，由（2）知平面平面，從而得平面，即可證得結(jié)論．
（1）底面，，                          2分
，，面.                  4分
（2）面//面，面面，面面，
//，                                     7分
在中是棱的中點(diǎn)，
是線段的中點(diǎn).                                             8分
（3）三棱柱中
側(cè)面是菱形，，                            9分
由（1）可得，，面，                              11分
.                                  12分
又分別為棱的中點(diǎn)，//，                            13分
.                                          14分