Question

（2013•天河區(qū)三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC=12，E為CD的中點，將△DAE沿AE折起，使面DAE⊥面ABCE；再過點D作DQ∥AB，且DQ=

1

2

AB．
（Ⅰ）求證：面DAE⊥面BEQ；
（Ⅱ）求直線BD與面DAE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求點Q到面DAE的距離．

Answer 1

分析：（I）利用勾股定理的逆定理可知BE⊥AE，再利用面面垂直的性質(zhì)定理可得BE⊥平面DAE，利用面面垂直的判定定理即可證明結論；
（II）由（I）知，BE⊥平面DAE，可得∠BDE是直線BD與平面DAE所成的角，再利用直角三角形的邊角關系即可求出；
（III）設點Q到平面DAE的距離為h，由DQ∥EC且DQ=EC，可得四邊形DQCE為平行四邊形，得到QC∥DE，從而QC∥平面DAE，故點Q到平面DAE的距離等于點C到平面DAE 的距離．作DH⊥AE與H，由面DAE⊥面BEQ，交線為AE，可得AH⊥平面ABCE，則AH是D到面ABCE的距離，再利用“等體積變形”V_Q-ADE=V_C-ADE=V_D-AEC，即可得出．

解答：（I）證明：折疊前，矩形ABCD中，連接BE，
在△ABE中，AE=BE=6

2

，AB=12，
∴AE²+BE²=AB²，
∴AE⊥BE，
∵面DAE⊥面ABCE，交線為AE，
∴BE⊥平面DAE，
而BE?BEQ，∴面DAE⊥面BEQ；                  
（II）由（I）知，BE⊥平面DAE，∴∠BDE是直線BD與平面DAE所成的角，
在Rt△BDE中，BE=6

2

，DE=6，BD=6

3

∴sin∠BDE=

BE

BD

=

6 2

6 3

=

6

3

．
故直線BD與平面DAE所成角的正弦值為

6

3

．                       
（III）設點Q到平面DAE的距離為h，
∵DQ∥EC且DQ=EC，
∴四邊形DQCE為平行四邊形，
QC∥DE，從而QC∥平面DAE，
故點Q到平面DAE的距離等于點C到平面DAE 的距離，
作DH⊥AE與H，
∵面DAE⊥面BEQ，交線為AE，
∴DH⊥平面ABCE，則DH是D到面ABCE的距離，而DH=3

2

．
由V_Q-ADE=V_C-ADE=V_D-AEC
∴

1

3

•S△ADE•h=

1

3

•S△AEC•DH，
又S△ADE=

1

2

•AD•DE=18，S△AEC=

1

2

•EC•AD=18．
∴h=3

2

．
∴點Q到平面DAE 的距離為3

2

．

點評：本題綜合考查了線面垂直、面面垂直、線面角、三棱錐的體積等基礎知識，需要較強的推理能力、計算能力和空間想象能力．