Question

若在所給條件下，數(shù)列{a_n}的每一項(xiàng)的值都能唯一確定，則稱該數(shù)列是“確定的”，在下列各組條件下，有哪些數(shù)列是“確定的”？請(qǐng)把對(duì)應(yīng)的序號(hào)填在橫線上

 

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（注：S_n是{a_n}的前n項(xiàng)和，n∈N^*）
①{a_n}是等差數(shù)列，S₁=2，S₂=3；
②{a_n}是等差數(shù)列，S₁=1，S₅=25；
③{a_n}是等比數(shù)列，S₁=1，S₄=31；
④{a_n}是等比數(shù)列，S₁=2，a₃=2；
⑤{a_n}滿足S_n=2a_n．

Answer 1

分析：通過題目提供的信息，由等差數(shù)列，等比數(shù)列的項(xiàng)和前n項(xiàng)和以及它們的關(guān)系求得其通項(xiàng)，即可確定該數(shù)列中的項(xiàng)，從而得到答案．

解答：解：∵①{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
又∵S₁=2，S₂=3∴a₂=3-2=1∴d=1-2=-1∴a_n=2-（n-1）=3-n 每一項(xiàng)都是確定的，∴①對(duì)
∵②{a_n}是等差數(shù)列，S₁=1，S₅=25∴S₅=

5(a1+a5)

2

=

5(1 +a5)

2

=25∴a₅=9∴4d=9-1=8∴d=2∴a_n=1+2（n-1）=2n-1∴②對(duì)
∵③{a_n}是等比數(shù)列，S₁=1，S₄=31 設(shè)其公比為q（q≠1），∴S₄=

a1(1-q4)

1-q

=

1× (1-q4)

1-q

=31∴q³+q²+q=30
令y=q³+q²+q，則y′=3q²+2q+1，∵其△=4-12=-8＜0∴y′＞0恒成立∴函數(shù)y=q³+q²+q為單調(diào)增函數(shù)，
∴方程q³+q²+q=30有唯一的解，即{a_n}的每一項(xiàng)都是確定的．∴③對(duì)．
④{a_n}是等比數(shù)列，S₁=2，a₃=a₁•q²=2∴q²=1∴q=±1∴{a_n}的各項(xiàng)是不確定的∴④不對(duì)．
⑤{a_n}滿足S_n=2a_n∴a₁=2a₁∴a₁=0   當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1 ∴a_n=2a_n-1，∴a_n=0．∴⑤對(duì)
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題是一道信息給予題，正確把握新概念是解決問題的根本，主要考查了等差，等比關(guān)系的確定，是個(gè)基礎(chǔ)題．