Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x+a）=（x+a）|x|，x∈R．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（1）＞2，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析：（1）用換元法求f（x）的解析式（2）解關(guān)于a的絕對(duì)值不等式；（3）轉(zhuǎn)化函數(shù)為分段函數(shù)，每一段用二次函數(shù)求得最值，兩段中取最大的．

解答：解：（1）令x+a=t，
∴x=t-a，
∴f（t）=t|t-a|．
∴f（x）=x|x-a|（x∈R）．

（2）∵f（1）＞2，
∴|1-a|＞2，
∴a-1＞2或a-1＜-2，
∴a＞3或a＜-1，
∴a的取值范圍是a＞3或a＜-1．

（3）f(x)=

x2-ax=f1(x)  x≥a -x2+ax=f2(x)，x＜a.

當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（1）=1-a．
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的圖象如圖：
①當(dāng)

a

2

＞12時(shí)，即a＞23時(shí)，
f_max（x）=f₂（1）=a-1．
②由f1(x)=

a2

4

，x＞a得，
∴x2-ax-

a2

4

=0，
∴x=

(1± 2 )a

2

．
∵x＞a，
∴x=

(1- 2 )a

2

舍去，
∴x=

(1+ 2 )a

2

．
∴當(dāng)

a

2

≤1≤

(1+ 2 )a

2

時(shí)，
即2(

2

-1)≤a≤2時(shí)，fmax(x)=

a2

4

．
③當(dāng)

(1+ 2 )a

2

＜1時(shí)，
即0＜a＜2(

2

-1)，
f_max（x）=f₁（1）=1-a．
綜上所述，g(a)=

1-a a＜2( 2 -1) a2 4 2( 2 -1)≤a≤2 a-1 a＞2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值函數(shù)，分段函數(shù)和二次函數(shù)與方程不等式的內(nèi)在聯(lián)系，特別要注意分類討論思想的應(yīng)用．