Question

點(diǎn)A、B在橢圓=1上，O為原點(diǎn)，OA⊥OB.

(1)求證：為定值；

(2)求△AOB面積的最大值和最小值.

Answer 1

思路解析：此題看起來(lái)與極坐標(biāo)方程沒(méi)有什么關(guān)系,但是當(dāng)把橢圓方程化為極坐標(biāo)方程后,就可以發(fā)現(xiàn)OA與OB長(zhǎng)度的關(guān)系了；在△AOB中利用正弦定理的面積公式也容易找到其面積的最大值和最小值.

(1)證明：橢圓半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a,半短軸長(zhǎng)為b,以O(shè)為極點(diǎn),長(zhǎng)軸一端與點(diǎn)O的射線為極軸,建立坐標(biāo)系,將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入橢圓方程,得b²ρ²cos²θ+a²ρ²sin²θ=a²b².

∴ρ²=

即ρ²=.設(shè)OA的極角為α,則OB的極角為+α.

∴.

∴為定值.

(2)解：設(shè)A的極坐標(biāo)為(ρ₁,θ),則B(ρ₂,θ+).點(diǎn)A、B滿足方程ρ₁²=,ρ₂²=.∵OA⊥OB,∴S_△OAB=ρ₁ρ₂.

而ρ₁²ρ₂²=,

這里ρ₁ρ₂與ρ₁²ρ₂²同時(shí)取得最大值和最小值.

故當(dāng)sin2θ=0時(shí),ρ₁²ρ₂²有最大值,ρ₁ρ₂有最大值,

(S_△OAB)_max=·=；

當(dāng)sin2θ=±1時(shí),ρ₁²ρ₂²有最小值,ρ₁ρ₂有最小值,

(S_△OAB)_min=·=.