Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，且a≠0），當(dāng)x∈[-3，1]時，有f（x）≤0；當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）時，有f（x）＞0，且f（2）=5．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若關(guān)于x的方程f（x）=9m+3有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意知，-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的兩根，可設(shè)f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0），利用f（2）=5，可求a的值，從而可求f（x）的解析式；
（II）關(guān)于x的方程f（x）=9m+3有實數(shù)解，即關(guān)于x的方程x²+2x-9m-6=0有實數(shù)解，利用判別式可求實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（I）由題意知，∵當(dāng)x∈[-3，1]時，有f（x）≤0；當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）時，有f（x）＞0
∴-3，1是二次方程ax²+bx+c=0的兩根
可設(shè)f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）
∵f（2）=5，
∴f（2）=5a=5，
∴a=1
∴f（x）的解析式為f（x）=x²+2x-3
（II）關(guān)于x的方程f（x）=9m+3有實數(shù)解，即關(guān)于x的方程x²+2x-9m-6=0有實數(shù)解
∴△=4+4（9m+6）≥0
∴m≥-

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點(diǎn)評：本題以不等式為載體，考查函數(shù)的解析式，考查方程有解，解題的關(guān)鍵是利用一元二次不等式與一元二次方程之間的關(guān)系．