Question

（2008•盧灣區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為實(shí)數(shù)）．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值； 
（2）設(shè)a＞2，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義可得f（-x）=f（x）然后代入即可求出a
（2）可根據(jù)絕對(duì)值的定義可將函數(shù)f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a為實(shí)數(shù)）轉(zhuǎn)化為）f(x)=

x2+2x-a，x≥ 1 2 a x2-2x+a，x＜ 1 2 a

然后根據(jù)a＞2再結(jié)合一元二次函數(shù)的單調(diào)性可求出f（x）在各段的最小值然后比較兩個(gè)最小值的大小則較小的最小值即為所求．

解答：解：（1）由已知f（-x）=f（x），即|2x-a|=|2x+a|，解得a=0
（2）f(x)=

x2+2x-a，x≥ 1 2 a x2-2x+a，x＜ 1 2 a

當(dāng)x≥

1

2

a時(shí)，f（x）=x²+2x-a=（x+1）²-（a+1）
由a＞2，x≥

1

2

a，得x＞1，從而x＞-1
故f（x）在x≥

1

2

a時(shí)單調(diào)遞增，f（x）的最小值為f(

a

2

)=

a2

4

當(dāng)x＜

1

2

a時(shí)，f（x）=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1）
故當(dāng)1＜x＜

a

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）單調(diào)遞減
則f（x）的最小值為f（1）=a-1
由

a2

4

-(a-1)=

(a-2)2

4

＞0，知f（x）的最小值為a-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的概念和利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性求最小值．解題的關(guān)鍵是第一問(wèn)要知道f（x）為偶函數(shù)則必有f（-x）=f（x）而第二問(wèn)首先要根據(jù)絕對(duì)值的意義將所給函數(shù)化為熟知的分段函數(shù)然后結(jié)合a的取值范圍和每一段的一元二次函數(shù)的單調(diào)性求出每一段的最小值最后只需比較兩最小值的大小取較小的即可！